Makalah Audit Sektor Publik

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Kebanyakan model ekonomi yang berbentuk matematis mempunyai lebih dari satu kendala dan variabel dalam himpunan persamaannya. Himpunan persamaan-persamaan linier ini disebut sistem persamaan linier

Terdapat tiga kemungkinan penyelesaian sistem persamaan linier:

1.      Ada penyelesaian tunggal (unik)

2.      Tidak ada penyelesaian

3.      Sejumlah penyelesaian yang tidak terbatas.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Pasangan dua persamaan linear dua variabel (atau lebih) yang ekuivalen dengan bentuk umum

Dengan a,b,c,d,p,q, ∈R dan a,b,c,d ≠0

 dengan penyelesaian, simultan atau serentak terpenuhi oleh pasangan terurut (x_₀, y_₀) dinamakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Adalah sekumpulan persamaan linier yang terdiri dari beberapa variable.

•      Metode Grafik

Metode grafik dapat digunakan untuk pemecahan masalah linier yang hanya memiliki 2 variabel.

Perhatikan dua sistem persamaan dua variable

Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.

Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.

Solusi dari sistem adalah

Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada table berikut.

Dengan a,b,c,d,p,q, ∈R dan a,b,c,d ≠0

Sistem	Kemiringan	Grafik	Penyelesaian
Konsisten dan bebas	Berbeda	Garis berpotongan di satu titik	Satu
Inkonsistent dan bebas atau berlawanan	Sama	Garis sejajar	Tidak ada
Konsisten dan bergantungan	Sama	Garis berimpit	Tak terhingga

•      Metode Substitusi

Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain

Langkah-langkah

1.      Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x

2.      Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya

•      Metode Eliminasi

Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel.

—  Langkah-langkah

1.      Perhatikan koefisien x (atau y)

a)      Jika koefisiennya sama:

Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama

Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda

b)      Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a)

2.      Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya.

•      Metode Matriks (Optional)

Sebuah matriks adalah sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan yang disebut entri. Metode matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linier.

Persamaan Ketergantungan Linier dan Ketidakkonsistenan

Bila kedua persamaan mempunyai kemiringan (slope) yang sama, maka gambarnya akan terdapat dua kemungkinan yaitu:

1. Kedua garis adalah sejajar dan tidak mempunyai titik potong, sehingga tidak ada penyelesaian. Kedua persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier yang tidak konsisten
2. Kedua garis akan berhimpit, sehingga penyelesainnya dalam jumlah yang tidak terbatas. Kedua persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linier yang tergantung secara linier

Contoh metode subtitusi

Tentukan penyelesaian dari system persamaan 3x + y = 5 dan 2x + 3y = 8

Jawab

3x + y = 5 → y = -3x + 5

2x + 3y             = 8

2x + 3(-3x + 5) = 8

2x – 9x + 15     = 8

2x – 9x             = 8 – 15

-7x                    = -7

x                       = 1

y = -3x + 5

y = -3(1) + 5

y = -3 + 5

y = 2

jadi penyelesaian system persamaan adalah x = 1 dan y = 2

Contoh metode eliminasi

Tentukan penyelesaian dari system persamaan 2x + 3y = 11 dan 4x + 2y = 23

Jawab

Subsitutusikan nilai x = -39 ke persamaan

Jadi penyelesaian system persamaaan adalah x = -39 dan y = 29,67