MAKALAH PENALARAN

HIMPUNAN

Pengertian

Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas. Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu. Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. 

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  }

  

Penulisan Himpunan

•          Penulisan himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital dan elemen-elemennya didaftarkan dalam tanda kurung kurawal { }.

•          Ada dua cara untuk menulis suatu himpunan :

1.       Dengan cara mendaftarkan satu persatu 

Contoh: S = {1, 2, 3, 4, 5}

2.       Dengan cara deskriptif

Contoh: S = {x| x < 6, x bilangan asli}

Jenis himpunan berdasarkan keanggotaannya :

1.       Himpunan terbatas (finite set)

                Himpunan yang mempunyai elemen-elemen bilangan terbatas

                Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = { x | 3 < x < 9}

2.       Himpunan tak terbatas (infinite set)

                Himpunan yang mempunyai elemen-elemen bilangan tidak terbatas

                Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, …},

                                        B = { x | x bilangan bulat positif}

Keanggotaan Suatu Himpunan

Hubungan antara Himpunan

Himpunan Sama

Definisi : Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya

Contoh :

A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o  maka himpunan A = B

Himpunan Ekuivalen

Definisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama

Contoh :

P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

HIMPUNAN BAGIAN

Definisi:

adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan AB

Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

1. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi  BA
2. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi CA

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah  sebanyak 2^n(A)

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut

1. A = { a, b, c }
2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Jawab:

1. n(A) = 3  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 2³ = 2 x 2 x 2 = 8
2. n(B) = 5  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
3. n(C) = 7  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Himpunan Khusus

Himpunan Semesta (Universal)

Definisi : Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan

Contoh :

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

B = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 }

C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }

D = { 2, 3, 5, 7, 11 }

E = { 0, 2, 4, 6 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E

1.       Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?

2.       Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?

Jawab:

1.       Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D

2.       Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

HIMPUNAN KOSONG (Null Set)

Difinisi   : Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau  Ø

Contoh :

D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

KOMPLEMEN (Complement)

Difinisi   : Komplemen himpunan adalah himpunan dari seluruh elemen-elemen dalam himpunan universal yang bukan elemen atau anggota dari suatu himpunan tertentu yang sudah didefinisikan. Dilambangkan : A^c atau A’.

OPERASI HIMPUNAN

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)

Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A ᴖ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ᴖ Q

Jawab : P ᴖ Q  = { d, e }

Gabungan Dua Himpunan ( Union)

Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A ᴗ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ᴗ Q

Jawab : P ᴗ Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

Himpunan Lepas (Disjoint)

Definisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama

Contoh :

L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }

G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G

Himpunan Tidak Saling Lepas

Definisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama

Contoh :

P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi PQ

Definisi secara matematis :

Contoh Soal

Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.

1. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?
2. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?
3. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?